Javascriptでの正規表現マッチには .match を使用します。 Perlと同じように カッコで挟むと $1 に入ります。

こちらの RegExp.$1 は廃止予定です。

const file_name='http://www.test.com/aiueo/kakikukeko.gif';
alert(file_name);
const r = file_name.match(/([a-zA-Z0-9_.]+?)\.gif$/);
alert(r);
alert(RegExp.$1);

このように記述します

const file_name='http://www.test.com/aiueo/kakikukeko.gif';
const regexp = /([a-zA-Z0-9_.]+?)\.gif$/;
const r = regexp.exec(file_name);
console.log( r[1] );